ตัวอย่างที่ 6.
เศษเหลือจากการหาร $7^{2541}$ ด้วย $4$ เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
$ \ \ \ \ \ \ \ \ 7^{2541}= (4+3)^{2541}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ 3^{2541} = (3^3)^{847} =(27)^{847} =(6(4)+3)^{847}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ 3^{847} = (3^7)^{121} =(2187)^{121} =(546(4)+3)^{121}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ 3^{121} =(3^{11})^{11} = (177147)^{11}
= (44286(4)+3)^{11}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ 3^{11} = 177147$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $3$
เศษจากการหาร $7^{2541}$ ด้วย $4$
= เศษจากการหาร $3^{2541}$ ด้วย $4$
= เศษจากการหาร $3^{847}$ ด้วย $4$
= เศษจากการหาร $3^{121}$ ด้วย $4$
= เศษจากการหาร $3^{11}$ ด้วย $4$
= $3$
ในหลักสูตรเกี่ยวกับระบบจำนวนมีการกำหนดสัญลักษณ์ $a \equiv b \pmod{m} $
หมายความว่า $a-b$ หารด้วย $m$ ลงตัว ตัวอย่างเช่น
$10-1$ หารด้วย $3$ ลงตัว เพราะฉะนั้น $10 \equiv 1 \pmod{3} $
$17-5$ หารด้วย $12$ ลงตัว เพราะฉะนั้น $17 \equiv 5 \pmod{12} $
$100-50$ หารด้วย $10$ ลงตัว เพราะฉะนั้น $100 \equiv 50 \pmod{10} $
ในกรณีที่ $0\leqslant b < m$ และ $a \equiv b \pmod{m} $
จะได้ว่า $b$ เป็นเศษเหลือที่ได้จากการหาร $a$ ด้วย $m$
โดยการใช้สัญลักษณ์ $a \equiv b \pmod{m} $ จะได้ว่า
$7^{2541} \pmod{4} \equiv 3^{2541} \pmod{4} \equiv 3^{847} \pmod{4} \equiv 3^{121} \pmod{4} \equiv 3^{11}\pmod{4} $
$ \equiv 177147\pmod{4} $
$ \equiv 3 \pmod{4} $
ต่อไปพิจารณาเศษเหลือที่ได้จากการหาร$(m+b)^n$ ด้วย $m$ โดยการกระจายทวินาม
$(m+b)^n = \binom{n}{0}mn+\binom{n}{1}m^{n-1} b+...+ \binom{n}{n-1}mb^{n-1}+b^n$
ดังนั้น $(m+b)^n-b^n =\binom{n}{0}m^n+\binom{n}{1}m^{n-1} b+...+ \binom{n}{n-1}mb^{n-1}$
เพราะว่า $m$ หาร $\binom{n}{0}m^n+\binom{n}{1}m^{n-1} b+...+ \binom{n}{n-1}mb^{n-1}$ ลงตัว
เพราะฉะนั้น $m$ หาร $(m+b)^n-b^n$ ลงตัว
สรุป $(m+b)^n \equiv b^n \ (mod \ m) $
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว 
ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก
รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|