[LightLucifer]

เสร็จแล้วครับ

แนวคิดคือ

สังเกตุว่า $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$
สมมติว่า $p(x)=q(x)r(x)$ โดยที่ $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $1=p(yi)=q(yi)r(yi)$ สำหรับ $y=\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$
แต่เนื่องจาก $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$
ถ้ามี $y_1,y_2$ ซึ่งทำให้ $(q(y_1i),r(y_1i))=(1,1),(-1,-1)$ และ $(q(y_2i),r(y_2i))=(i,-i),(-i,i)$
พิจรณาพหุนาม
$q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีดีกรีเท่ากันคือ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$
และ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) >10 $ จะได้ว่า $q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีรากรวมกัน มากกว่า $20$ ขัดแย้งกับ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) <10 $ จะได้ว่า $deg(q(x))+deg(r(x))<20$ ขัดแย้งกับ $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) = 10 $ สมมติว่าเท่ากับ $deg(q(x))$ จะได้ว่า $deg(r(x))$ ด้วยเพราะ $deg(q(x))+deg(r(x))= 20$ จะได้ว่า $deg(q(x)-r(x))<10=max(deg(q(x)),deg(r(x)))$ ซึ่งขัดแย้งกับ
$q(x)-r(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$

ดังนั้นจะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1)$ หรือ $(q(yi),r(yi))=(i,-i),(-i,i)$ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ถ้า
จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$
นั่นคือ $deg(q(x)-r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์

ถ้า
จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)+r(x)$
นั่นคือ $deg(q(x)+r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์

$\therefore $ ไม่มี $q(x),r(x)$ ที่สอดคล้องกับโจทย์ $ \ \ \ \ \ \square$

ปล. เดี๋ยวนี้แก่แล้ว ไม่ค่อยได้ฝึก คิดอะไรช้าลงเยอะเลย =="