[Thgx0312555]

เคยออกเป็นข้อสอบค่ายอยู่นะครับ ลองไปเปิดหาข้อสอบค่ายปีเก่าๆในนี้ดู

วิธีทำเหมือนข้างบนแหละครับ แต่เอามาเขียนอีกแบบ

Lemma ที่ useful ตัวนึง

ถ้า $p|x^k-y^k$ และ $p|x^l-y^l$ โดยที่ $\gcd(x,y) = 1$ แล้ว $p|x^{\gcd(k,l)}-y^{\gcd(k,l)}$

ต่อมาครับ สมมติว่ามี $n$ ซึ่ง $n | 3^n-2^n$

1) สมมติ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่ $p|n$ (Keyword คือบรรทัดนี้ครับ)

2) จะได้ $p | 3^n-2^n$ และ $p| 3^{p-1} - 2^{p-1}$ ดังนั้น $p| 3^{\gcd(p-1,n)} - 2^{\gcd(p-1,n)}$

3) แต่ $\gcd (p-1,n)$ เป็นจำนวนที่หาร $n$ ลงตัวและน้อยกว่า $p$ ด้วย ดังนั้นมีสองกรณี

ถ้า $\gcd(p-1,n) \neq 1$ แสดงว่ามีจำนวนเฉพาะอื่นที่น้อยกว่า $p$ และหาร $n$ ลงตัว
ถ้า $\gcd(p-1,n) = 1$ แปลว่า $p | 1$ เลยขัดแย้งครับ