ศูนย์เกษตรศาสตร์จะแบ่งสอบออกเป็น2รอบ มีกลางค่ายและก็ปลายค่าย
รอบนี้สอบ วิชาตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ วิชาทฤษฎีจำนวน และวิชาคอมบินาทอริกค่ะ
ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์
1. ให้ a,b เป็นจำนวนเต็ม
จงพิสูจน์ว่า ถ้าab เป็นจำนวนคู่ แล้ว a หรือb จะเป็นจำนวนเต็มคู่
2. ให้ $a_{n}=a_{n-1}-11a_{n-2}+6a_{n-3}$
และ $a_{0}=2,a_{1}=5,a_2=15$
จงแสดงว่า $a_{n}=1-2^{n}+2(3^{n})$ ทุก nเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ $3$
โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
3.ให้ $\{f=(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ |\ x^{2}y+4y-x=0 \}$
จงพิสูจน์ว่า 3.1 $D_{f}=\mathbb{R}$
3.2 $R_{f}=[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$
4. ให้ $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ และ $f(x)=(5x,x-3)$
4.1 $f$ เป็นฟังก์ชัน1-1 ถ้าจริงให้พิสูจน์ ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่างค้าน
4.2 $f$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง ถ้าจริงให้พิสูจน์ ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่างค้าน
5. ให้ $A\subseteq\mathbb{R}$ โดยที่ $A\not=\phi\ และ\ \ell\ เป็นขอบเขตล่างของ A$
จงแสดงว่า $\ell\ เป็นขอบเขตล่างที่มากที่สุดของ A\leftrightarrow จำนวนจริง\ b\ ใดๆ ถ้า\ b>1$
แล้วจะมี $a\in A \ ซึ่ง\ a<b$
ทฤษฎีจำนวน
1. จงแสดงว่า ไม่สามารถแบ่งจำนวน $1,2,3,...,15\ ออกเป็นเซตA\ และเซตB\ ได้ โดยให้$
$A\cup B=\{1,2,3,...,15\},A\cap B=\phi ,|A|=13,|B|=2\ และผลรวมของสมาชิกในเซตA$
$เท่ากับผลคูณของสมาชิกในเซตB$
2. กำหนดให้ $418x+165y=2557+k$
จงหา$k$ ที่เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่ทำให้มี $x,y\in\mathbb{Z}$ สอดคล้อง
กับสมการนี้ และจงแสดงด้วยว่ามีผลเฉลย $x,y$ เพียงคู่เดียวที่เป็นบวกพร้อมกัน
3. จงแสดงว่า ถ้า $a\in\mathbb{N} ,a\geq2$ แล้ว
$(a^{m}-1,a^{n}-1)=a^{(m,n)}-1$
4.ให้ $a,n\in\mathbb{N} และ\ a\geq 2,\ n\geq2\ ซึ่ง\ a^{n}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
จงพิสูจน์ว่า $a$ จะมีค่าเท่ากับ$\ 2$ และ$\ n$ เป็นจำนวนเฉพาะ
คอมบินาทอริก
1.มีเส้นตรง $x=1,y=1,x=2,y=2,...,x=n,y=n$ อยู่บนระนาบ
จงหาจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน
2. สมมติว่าชั้นเรียนหนึ่งมีนักเรียนชาย $n$ คน นักเรียนหญิง $n$ คน
จงสร้างสถานการณ์ โดยใช้การพิสูจน์เชิงการจัด
2.1 สร้างเหตุการณ์ได้ $\left(\matrix{n\\0}\right)^{2}+\left(\matrix{n\\1}\right)^{2}+...+\left(\matrix{n\\n}\right)^{2}$
2.2 จงพิสูจน์ว่า เท่ากับ$\left(\matrix{2n\\n}\right)$
3. ให้ $k=0,1,2,...,2014$
และ $a_{k}=\left(\matrix{2014\\k}\right) \frac{1}{4^{k}}$
จงหาค่า$\ k$
ทุกจำนวน ที่ทำให้ $a_{k}$ มีค่าสูงที่สุด