ข้อ 6,
(ก) ชัดเจนว่า $2\mid y$ ทำให้ได้ว่า $y=2k$ สำหรับ $k\in \mathbb{Z}$
ทำไปเรื่อยๆ จะได้ $2\mid x$ นั่นคือ $x=2l$ , $l\in \mathbb{Z}$
และ $2\mid z$ จะได้ $z=2m$ , $m\in \mathbb{Z} $
พิจารณา $2x^2=3y^3+4z^4$
จะได้ $8l^2=24k^3+64m^4$ $\Rightarrow$ $l^2=3k^3+8m^4$
พิจารณาทั้งสองฝั่งในมอดุโล 3
จะได้ $l^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$
แต่ $8m^4+3k^3 \equiv 0,2 \pmod{3}$
ทำให้สรุปได้ว่า $l^2 \equiv 8m^4+3k^3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 3\mid l \Rightarrow 6\mid x$
แทนค่าตัวแปรไปเรื่อยๆ จะสรุปได้ว่า $6\mid y$ และ $6\mid z$ ตามต้องการ
(ข) แทนค่า $x=54\cdot 6^6\cdot n^6$
$y=6^5\cdot n^4$
$z=6^4\cdot n^3$
จะได้ว่าสมการเป็นจริงทุก $n\in \mathbb{Z} $ จึงได้ $(x,y,z)$ มีไม่จำกัดและ A เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ
|