[Thamma]

4.

ให้พิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$3(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-a^{2559}-(b^{2559}+c^{2559})$

จาก $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559}=a^{2559}+\binom{2559}{1}a^{2558}(b+c)+\ldots+(b+c)^{2559}-a^{2559}$

จะได้ $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

และจาก $x+y \mid x^{2k+1} + y^{2k+1}$ จะได้ $\;b^{2559}+c^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

ดังนั้น $(b+c) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$(a+b) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ดังนั้น $(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$