อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma
ให้พิสูจน์ว่า
$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$
$3(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-a^{2559}-(b^{2559}+c^{2559})$
จาก $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559}=a^{2559}+\binom{2559}{1}a^{2558}(b+c)+\ldots+(b+c)^{2559}-a^{2559}$
จะได้ $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$
และจาก $x+y \mid x^{2k+1} + y^{2k+1}$ จะได้ $\;b^{2559}+c^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$
ดังนั้น $(b+c) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$
ในทำนองเดียวกัน จะได้
$(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$
$(a+b) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$
ดังนั้น $(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$
แต่สัมประสิทธิ์บางพจน์ของ $(a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$ ไม่มี $3$ เป็นตัวประกอบ
คิดว่าข้อความโจทย์ไม่จริงนะ ลองคิดดู
|
สวยงามทุกขั้นตอน...สรุปก็คือถ้า$(a+b)(b+c)(c+a)หารพหุนามของตัวแปรa,b,c ได้ลงตัว..3(a+b)(b+c)(c+a)ก็จะหารพหุนามนั้นลงตัวด้วย...ลองคิดดูดีดี$