วิธีทำผมมันไม่สร้างสรรค์เอาเลย แต่เอาเถอะ...
จาก
http://canhang2007.wordpress.com/200...b-can-p-h-duc/
ได้ว่า $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$$
ในขณะที่ $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+3b^2}} =2\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{2(a+b)\sqrt{a^2+3b^2}} \geq 2\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+(a^2+3b^2)}$ (จาก AM-GM)
$\displaystyle\geq 2\cdot\frac{(2(a+b+c))^2}{6(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)} =\frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}$
ดังนั้น $\displaystyle 5(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+3(\frac{a+b}{\sqrt{a^2+3b^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+3c^2}}+\frac{c+a}{\sqrt{c^2+3a^2}}) \geq \frac{45(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} +\frac{12(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}$
เีพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\dfrac{45(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} +\dfrac{12(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)}\geq24$
หารด้วย $3$ ทั้งอสมการ แล้วคูณกระจาย ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ $$\sum_{sym}\left(\frac{25}{2}a^4-25a^3b+25a^2b^2-\frac{25}{2}a^2bc\right)\geq 0$$ ซึ่งเป็นจริงโดย Muirhead
แล้วตุณ RoSe-JoKer ล่ะครับ ทำยังไง
