หลังจากขีดๆเขียนๆแล้ว ถ้าไม่เป็นผลก็ต่อไปแนะนำลองมองหาอสมการสำเร็จรูปที่เราจำได้ มาเพื่อใช้พิสูจน์ต่อไปครับ โจทย์ที่ยากคือเราต้องใช้หลายๆทักษะประกอบกัน แล้วก็ไม่รู้ว่าจะเริ่มตรงไหนก่อน สิ่งที่ช่วยได้คือประสบการณ์ครับ (ซึ่งผมก็ไม่ค่อยจะมี)
ต่อไปก็จะแนะนำอสมการที่สำคัญและควรจดจำให้ได้ครับ จะพิสูจน์สำหรับอสมการที่ไม่ยาก ก็แล้วกันนะครับ เพราะที่พิสูจน์ยากๆผมก็ งงเหมือนกัน :d
อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต-ฮาร์โมนิก (AM $\geq$ GM $\geq$ HM) สำหรับสองจำนวน
ให้ $a,b \geq 0$ จะได้ว่า \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\]
ข้อสังเกต สำหรับ AM $\geq$ GMอสมการกลายเป็นสมการ เมื่อ $a=b$ (ลองทำดู)
ใช้เทคนิคการทำย้อนกลับ จะพบว่า $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ ดังนั้น กระจายกำลังสองสมบูรณ์ จะได้อสมการ AM $\geq$ GM \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\]
สำหรับ GM $\geq $ HM ใช้ AM$\geq$GM กับ $\frac{1}{a},\frac{1}{b}$ จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
อสมการ AM $\geq$ GM $\geq $HM สามารถขยาย ไปเป็น $n$ จำนวนได้ ซึ่งการพิสูจน์สามารถทำได้หลายวิธีแต่จะยุ่งยากขอละไว้นะครับ
อสมการค่าเฉลี่ยนเลขคณิต-เรขาคณิต-ฮาร์โมนิก (AM $\geq$ GM $\geq$ HM) สำหรับ $n$ จำนวน
ให้ $a_1,a_2, ..., a_n \geq 0$ จะได้ว่า \[\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt{a_1a_2...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\]
ตัวอย่าง : จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน $f(x)=x+\frac{1}{x},\; \; x\in \mathbb{R}^+ $ (โดยไม่ใช้ Calculus)
: ใช้อสมการ AM $\geq$ GM จะได้ว่า $ {\displaystyle \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}} $ จะได้ว่า $x+\frac{1}{x} \geq 2 $
ต่อไปตรวจสอบว่าเกิดค่าต่ำสุดนั้นจริง โดยให้ $x+\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=1$ เกิดได้จริง
สรุปได้ว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันคือ $2$ เกิดที่ $x=1$
หมายเหตุ : การหาค่าสูงสุดต่ำสุดโดยใช้อสมการต้องตรวจสอบด้วยว่าเกิดที่ค่าต่ำสุดนั้นได้จริง
ตัวอย่าง : จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)=x(6-x)^2, \; \; x\in (0,6)$ (โดยไม่ใช้ Calculus)
: ข้อนี้จะทำการปรับรูปของฟังก์ชันเพื่อใช้อสมการ AM$\geq$GM หาค่าสูงสุดได้ ดังนี้
\[ f(x)=\frac{1}{2}(2x)(6-x)(6-x)\]
โดย AM$\geq$GM จะได้ $ {\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{2}(\frac{(2x)+(6-x)+(6-x)}{3})^3 } = \frac{1}{2}4^3=32$
ทำการตรวจสอบค่าสูงสุดเกิดได้จริงที่ $x=2 \in (0,6)$ (ลองทำดู)