[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$

เเทน $a=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{13}, b=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{15}, c=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{17}, d=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{19}$ ได้ว่า expression มีค่า $5^6$

ให้ $ a=\dfrac{3}{2}x, b=\dfrac{3}{2}y, c=\dfrac{3}{2}z, d=\dfrac{3}{2}w \longrightarrow x^6+y^6+z^6+w^6=2^6$

พิจารณาอสมการ power mean $$\left(\dfrac{\dfrac{3}{2}x+t}{5}\right )^{1/1}=\dfrac{1}{2}\left(\frac{x+x+x+t+t}{5}\right)^{1/1}\le \frac{1}{2}\left(\frac{x^6+x^6+x^6+t^6+t^6}{5}\right)^{1/6}\Longrightarrow (a+t)^6\le 5^5\left(\dfrac{3\cdot x^6+2t^6}{2^6}\right)$$
ดังนั้น $\displaystyle (a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6\le 5^5\left(\dfrac{3\cdot(x^6+y^6+z^6+w^6)+2\cdot (13+15+17+19)}{2^6}\right)=5^6$