[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

18. $a,b,c>0$ อสมการต่อไปนี้เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งอสมการ

$a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

$$ (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq (a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{b}+\sum_{cyc} \frac{a}{c} \leq \sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2}+\sum_{cyc} \frac{a^2}{c^2}$$
use $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$ and $xyz=1$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x+\sum_{cyc} xy \leq \sum_{cyc} x^2+\sum_{cyc} \frac{xy}{z}$$
Which is true by Cauchy and Rearangement