ขออภัยครับคุณ nooonuii เมื่อวานรีบมากไปหน่อย คือที่มาของวิธีทำคือ ผมมองว่าอสมการจะเท่ากับก็ต่อเมื่อ \( a=b=c=2\)
ซึ่งในกรณีนี้จะได้ว่า
\[
\sqrt{a+\sqrt{b+c}}=\sqrt{b+c}=2
\]
เทอมอื่นก็เช่นเดียวกัน ดังนั้นผมเลยเอาเทอม 2 คูณเข้าและหารออกและใช้ AM-GM จะได้
\[
\sqrt{a+\sqrt{b+c}}=\frac{1}{2}\left(2\cdot\sqrt{a+\sqrt{b+c}}\right)\leq\frac{1}{4}\left(2^2+(a+\sqrt{b+c})\right)
\]
ทำทำนองเดียวกับ เทอม \( \sqrt{b+c} \) จะได้ว่า
\[
\sqrt{b+c}\leq\frac{1}{4}\left(2^2+b+c\right)
\]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\[
\sum_{\text{sym}}\sqrt{a+\sqrt{b+c}}\leq\sum_{\text{sym}}\frac{1}{4}\left(4+a+\frac{1}{4}(4+b+c)\right)=\frac{15}{4}+\frac{3}{8} (a+b+c)
\]
ก็เหลือแสดงว่า
\[
a+b+c\leq6
\]
ซึ่งจะได้ตามมาว่า ค่ามากสุดเท่ากับ 6
|