ขออนุญาติให้ข้อสังเกตุนะครับ
ข้อ 5) ในวิธีทำของคุณ nooonuii สวยงามมากทีเดียวครับ แต่ตอนแรกผมก็มองอสมการที่สองของบรรทัดแรกอยู่นาน เพิ่งจะมองออกว่าใช้
rearrangement ineq นั่นเองครับ วิธีผมคิดเป็นดังนี้ครับ (อยากให้เสนอแนวคิดกันหลายๆแบบครับ จะได้เป็นการแลกเปลี่ยนกัน)
พิจารณาเทอม
\[
a^5+b^5=(a+b)\left[a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right]=(a+b)\left[(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(ab)^2\right]\geq(a+b)(ab)^2
\]
ดังนั้น
\[
\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq\frac{ab}{(a+b)(ab)^2+ab}=\frac{1}{(a+b)/c+1}=\frac{c}{a+b+c}
\]
ทำนองเดียวกันสำหรับเทอมอื่นๆ ดังนั้นก็จบ
ข้อ 6) อืมผมว่าผมทำแบบ basic มากไปเลยออกมายืดยาว แบบของคุณ nooonuii สั้นกว่าเยอะเลยครับ
แต่แนวคิดก็เหมือนกัน
ข้อ 1) ของ gools ตรงการใช้อสมการ AM-GM ในบรรทัดแรกนี่ ผมว่าน่าจะผิดครับ เพราะอสมการ AM-GM ต้องใช้เมื่อทุกเทอมมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์