ดูหนึ่งข้อความ
  #2  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 13:13
Rovers Rovers ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 เมษายน 2005
ข้อความ: 45
Rovers is on a distinguished road
Post

การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2
(The Second POSN-Mathematical Olympiad)
วันที่ 2-6 พฤษภาคม 2548 ณ. ศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี

วันแรก 3 พฤษภาคม 2548
ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน เวลาสอบ 3 ชั่วโมง (คะแนนสูงสุด 17 ต่ำสุด 0)

1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB

3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC

4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของ BOOC

5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21

6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x1+x2+x3)2(y1+y2) = 2548

7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S

9. จงหาห.ร.ม. ของ ( 13590 - 4590 )/ 902 กับ 902

10. จงหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร
2005
S
k=1
k 200522005 ด้วย 22005

11. จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ 22548 หาร x2005 +1 ลงตัว

12. จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวน ซึ่ง 0 n 1000 และ 5 n2 22n2 + 1

13. จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ k ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มบวก m ซึ่ง k + (k+5) + (k+10) + ... + (k+5(m-1)) = 1372

14. กำหนดฟังห์ชัน f : NZ ( Z คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) โดยที่ f(m+n) = f(m) + f(n) + 2mn - 2548 สำหรับทุกๆ m,n N ถ้า f(2548) = -2548 แล้ว จงหา f(2)

15. กำหนดฟังก์ชัน f:RR โดยที่ f(x+2y) + 2f(y-2x) = 3x-4y+6 สำหรับทุกๆ x,y R จงหา f(2548)

16. จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ (2-x)2005 + x2005 = 0

17. ให้ a,b 0 และนิยาม a*b = (a+b+1)/(ab+12) จงหาค่า 0*(1*(2*(...(2003*(2004*2005))...)))

18. จงหาค่าของ
1273
S
k=0
1/(1+tan2548(kp/2548))

19. กำหนด P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ X4 เท่ากับ 1 และ x-k หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1,2,3,... จงหาค่า P(4)+P(0)

20. กำหนด a,b,c,d > 0 และ 36a+4b+4c+3d = 25 จงหาค่าสูงสุดของ ab1/2c1/3d1/4

21. ให้ a,b,g เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ cos(a-b) + cos(b-g) + cos(g-a)

ผู้ที่ไปแข่งทุกคนคงได้เฉลยอยู่ในมือแล้ว แต่ในที่นี้ผมขอไม่เฉลยดีกว่า ลอง Discuss กันดูนะครับ
__________________
do the best
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้