อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง
ทำไมถึงมีอย่างน้อย1ตัวเป็นอตรรกยะครับ
แล้วก็ข้างล่าง สงสัยว่าทำไมต้องทำเป็น $cos\dfrac{5\pi }{3}$ ครับ เพราะมันก็เท่ากับ $cos\dfrac{\pi }{3}$
|
ก็จะขอตอบแบบ hardwork style ล่ะกันนะครับ แต่จะไม่แสดงวิธีพิสูจน์สูตรนะครับ
สมการที่อยู่ในรูป $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{P} $ โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma ,P เป็นจำนวนจริง$
เราสามารถหาค่าของ $P$ ในรูปของ $\alpha ,\beta ,\gamma $ได้ตามพหุนามกำลังสามนี้ครับ
$$2P^3-(36r+6L_3)P^2+(54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6)P+2(3r-L_3)^3=0........(a)$$
เมื่อ $r=\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } $
$L_3=\alpha +\beta +\gamma $
$L_6=\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2$
อย่างเช่นถามว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =?$
จะได้ $\alpha =1,\beta =-2,\gamma =4$
$r=-2........,L_3=3........,L_6=21$ สร้างพหุนามกำลังสาม$P$ได้คือ
$2P^3+54P^2+486P-1458=0$ หรือ $P^3+27P^2+243P-729=0$
แก้สมการได้ $P=9(\sqrt[3]{2} -1)$ .........แสดงว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =\sqrt[3]{9(\sqrt[3]{2} -1)} $
ทีนี้กลับมาที่โจทย์ $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}+1) } $
แสดงว่าค่า $P=3(\sqrt[3]{2}+1)$
$P=3\sqrt[3]{2}+3$
$P-3= 3\sqrt[3]{2}$
$(P-3)^3=54$
$P^3-9P^2+27P-81=0$
หรือ $2P^3-18P^2+54P-162=0...............(1)$
นำสมการ (1) ไปเทียบสัมประสิทธิ์กับ (a) ดู
$36r+6L_3=18...,54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6=54....,2(3r-L_3)^3=-162$
แต่เท่าที่ลองเช็คดู ค่า $L_3ได้เป็นจำนวนอตรรกยะ$ แสดงว่า $\alpha +\beta +\gamma =อตรรกยะ$
ผมก็เลยเดาว่าค่า $\alpha ,\beta ,\gamma $อย่างน้อยต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นอตรรกยะ