[prachya]

Combinatoric

1. Solution:

พิจารณา เลข 4 หลัก(เลขโดดติดกัน) abcd = (ab x100)+ cd
ดังนั้น จำนวนที่หาร 4 ลงตัว จะพิจารณาเพียง 2 หลักท้ายเป็นหลัก
ซึ่งได้ 5 จำนวน คือ 12, 24, 32, 44, 52
สำหรับ a , b เป็นจำนวนใดก็ได้
Ans 5x5x5 = 125

2. Solution:

ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนที่จะนำมาสร้าง 4 จำนวน $ \binom{8}{4} $
ขั้นที่ 2 สมมติเลือกเลข a,b,c,d มา
จะแยกกรณีได้ 2 กรณีคือ
1 มีเลขซ้ำกัน 3 ตัวหนึ่งเลข Ex. aaabcd
1-1 เลือกเลขที่จะซ้ำจาก 4 จำนวน $ \binom{4}{1} $
1-2 สลับจำนวนรูปแบบดังกล่าวได้ $ \frac{6!}{3!} $
2 มีเลขซ้ำกัน 2 ตัว อย่างละ 2 เลข Ex.aabbcd
2-1 เลือกเลขที่จะซ้ำจาก 4 จำนวน $ \binom{4}{2} $
2-2 สลับจำนวนรูปแบบดังกล่าวได้ $ \frac{6!}{2!2!} $

Ans $ \binom{8}{4} [\binom{4}{1}\frac{6!}{3!} +\binom{4}{2}\frac{6!}{2!2!}] $

3. Solution:

ถ้าสมมติให้ 0 เป็นการทาสีช่องบน 1 ทาสีช่องล่าง - ไม่ทาสี (ขี้เกียจทำเป็นภาพคับ = =)

010101010- , 101010101- แถบซ้าย 2 วิธี ขวาไม่มี
01010101-0 , 10101010-0 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (0 ,1)
0101010-01 , 1010101-01 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (01 , 10)
.....
0-01010101 , 1-01010101 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (01010101 , 10101010)
-010101010 , -101010101 ซ้ายไม่มี ขวาได้ 2 วิธี

Ans 2+(4x8)+2 = 36

4. Solution:

แยก 3 กรณี
1.กรณีติดกัน 3 ตัว IOU จัดได้ $ \frac{8!}{2!2!} $
2.กรณีติดกัน 2 ตัว IO-U , I-OU (ได้ 2 แบบ)
2-1 จัดพยัญชนะทั้งหมดได้ $\frac{7!}{2!2! } $
2-2 นำสระ 2 กลุ่มเข้าไปแทรกช่อง 8 ช่อง $ \binom{8}{2} $
3 กรณีไม่ติดกันเลย
3-1 จัดพยัญชนะทั้งหมดได้ $\frac{7!}{2!2! } $
3-2 แทรกสระ $ \binom{8}{3} $

Ans $\frac{8!}{2!2!} + 2. \frac{7!}{2!2! }\binom{8}{2}+\frac{7!}{2!2! }\binom{8}{3}$

5. Solution:

$ \frac{9!}{2!3!4!} $

6. Solution:

$$ 3 \binom{n}{0} + 4 \binom{n}{1} +..+ (n+2) \binom{n}{n-1} + (n+3) \binom{n}{n} = S $$
$$ (n+3) \binom{n}{0} + (n+2) \binom{n}{1} +..+ 4 \binom{n}{n-1} + 3 \binom{n}{n} = S $$
$$ (n+6) [\binom{n}{0} \binom{n}{1} +..+ \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}] = 2S $$
$$ (n+6) 2^{n-1} = S $$

7. Solution:

ช 2 ญ 4 = $\binom{4}{2}\binom{6}{4} $
ช 2 ญ 5 = $\binom{4}{2}\binom{6}{5} $
ช 2 ญ 6 = $\binom{4}{2}\binom{6}{6} $
ช 3 ญ 6 = $\binom{4}{3}\binom{6}{6} $

8. Solution:

คล้ายๆการหาจำนวนตัวประกอบ ของจำนวน 2x3x4x4x5x5x5
เลือก 2 ได้ 2 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว)
เลือก 3 ได้ 2 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว)
เลือก 4 ได้ 3 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว, เลือก 2 ตัว)
เลือก 5 ได้ 4 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว, เลือก 2 ตัว, เลือก 3 ตัว)

2x2x3x4 -1 (เนื่องจากถ้าไม่เลือกเลย ไม่ได้) = 47 แบบ

หมายเหตุ ในโจทย์บอกว่าจำนวนเต็มบวกที่"เกิดจากคูณเลข" ไม่แน่ใจว่าการเลือก 1 ตัวจะเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบรึเปล่า
ถ้าต้องเกิดจากการคูณระหว่าง 2 ตัวขึ้นไป ก็ตอบ 47-4 = 43

9. Solution:

การหาจำนวนที่ 20 หารลงตัว คือหาจำนวนที่แยกตัวประกอบได้เป็นอย่างน้อย 2x2x5
กรณีที่ 1 = 5,คู่,คู่
1.1-1 เลขคู่ซ้ำมี 4 แบบ 522, 544, 566, 588
1.1-2 นำมาสลับกันได้ $ \frac{3!}{2!} $
1.2-1 เลขคู่ไม่ซ้ำ ได้ $ \binom{4}{2} $
1.2-2 นำมาสลับกันได้ 3!
กรณีที่ 2 = 5,คู่,คี่
2-1 เลขคู่ต้องเป็น 4 , 8 เท่านั้น (2 แบบ)
2.1-2 เลขคี่เป็น 1,3,7,9 (4 แบบ)
2.1-3 สลับกันได้ 3!
2.2-2 เลขคี่เป็น 5
2.2-3 สลับกันได้ $ \frac{3!}{2!} $

Ans $ [(4x3)+(6x6)]+2[(4x6)+ 3] $ =102

10. Solution:

ลำดับที่ 1 = AACEHI//MMSTT
พิจารณา "MMSTT" สลับกันได้ $\frac{5!}{2!2!} = 30 $
ดังนั้นลำดับที่ 31 = AACEHM//IMSTT
พิจารณา "IMSTT" สลับกันได้ $\frac{5!}{2!} = 60 $
ดังนั้นลำดับที่ 91 = AACEHS//IMMTT
จะได้ว่าลำดับที่ 92 = AACEHSIMTMT