[beginner01]

ขอเสนอวิธีการหา $z$ อีกวิธีครับ

จาก $|z+a|=|z+b|=1$ จะได้ว่า $|z+a|^2=|z+b|^2=1$ นั่นคือ $(z+a)^2=(z+b)^2=1$
ให้ $z=x+iy$ ได้ว่า
$(x+\frac{3}{5})^2+(y+\frac{4}{5})^2=1$
$(x+\frac{8}{17})^2+(y+\frac{15}{17})^2=1$

สังเกตว่าเป็นสมการวงกลมทั้งสองวงที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ทั้งคู่ และระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของทั้งสองวงเท่ากับ $\sqrt{(\frac{8}{17}-\frac{3}{5})^2+(\frac{15}{17}-\frac{4}{5})^2}<2$
ดังนั้นวงกลมทั้งสองตัดกัน 2 จุด และสังเกตว่าจุดที่เป็นคำตอบก็คือ $(x,y)$

สามารถแสดงได้ว่าเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากคอร์ดร่วมของวงกลมสองวงนี้ และในทางกลับกัน คอร์ดร่วมจะแบ่งครึ่งตั้งฉากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลม

ดังนั้นจุดตัดของเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง กับคอร์ดร่วม คือ $\displaystyle\left(\frac{-\frac{3}{5}-\frac{8}{17}}{2},\frac{-\frac{4}{5}-\frac{15}{17}}{2}\right)=\left(-\frac{91}{170},-\frac{143}{170}\right)$

สังเกตว่าวงกลมทั้งสองตัดกันที่จุด $\left(0,0\right)$
จากที่เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากคอร์ดร่วมของวงกลมสองวง และคอร์ดร่วมจะแบ่งครึ่งตั้งฉากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลม
$\displaystyle\left(\frac{0+x}{2},\frac{0+y}{2}\right)=\left(-\frac{91}{170},-\frac{143}{170}\right)$
ได้ $x=-\frac{91}{85},y=-\frac{143}{85}$

และจาก $a+b=\frac{91}{85}+\frac{143}{85}i$
$\displaystyle\therefore Re\left(\frac{z}{a+b}\right)=Re\left(\frac{-\frac{91}{85}-\frac{143}{85}i}{\frac{91}{85}+\frac{143}{85}i}\right)=Re\left(-1\right)=-1$