[alongkorn]

ที่คุณ warut ไม่เข้าใจนั้นก็ถูกต้องแล้วครับ เพราะผมทำผิด (อีกแล้วครับท่าน) เอางี้ดีกว่า ใช้สูตรลดทอนดีกว่า จาก
$$\int\sin^nx\,dx = -\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\,dx$$
จะได้ว่า
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{n-1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx$$
ถ้าใช้สูตรลดทอนต่อไปอีก จะได้
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-4}x\,dx$$
ดังนั้นพอจะมองออกว่า ถ้าใช้สูตรลดทอนไปเรื่อย ๆ สุดท้ายจะได้ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 2}{n(n-2) \ldots 3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 2}{n(n-2) \ldots 3}$$
และถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2) \ldots 2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2) \ldots 2}\cdot\frac{\pi}{2}$$

เอ่อ ขอละ complete proof นะครับ พิมพ์จนมึนแล้ว ถูกแล้วยังเอ่ย?