[math ninja]

เอาเท่าที่จำได้ ของวันที่ 24/4/56
1. ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า b|a^5 c|b^5 และ a|c^5 จงพิสูจน์ว่า abc|(a+b+c)^31
2. ให้ a,b,c และ d เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ถ้า a+b+c+d=50 จงหาจำนวนคำตอบ (a,b,c,d) ที่สอดล้องกับสมการดังกล่าว
3. มีจำนวนห้าหลักกี่จำนวนที่มีคุณสมบัติดังนี้
- ประกอบด้วยเลขโดด 1,2,3,4 และ 5 อย่างละ 1 ตัว
- หารด้วย 5 ไม่ลงตัว
- มากกว่า 20000
4. แบ่งเงิน 16 บาท ให้คน 6 คน โดยทุกคนต้องได้รับเงินเป็นจำนวนเต็มบาท และต้องได้อย่างน้อย 1 บาท คนที่ได้เงินน้อยที่สุด และคนที่ได้เงินมากที่สุด ต้องได้เงินรวมกันมากกว่า สี่คนที่เหลือรวมกัน จะสามารถแบ่งเงินได้กี่วิธี
5. สามเหลี่ยม ABC มี AB = 5 BC = 13 และ CA = 12 หน่วย ให้ P เป็นจุดภายใน สามเหลี่ยม ABC ลาก PX ตั้งฉากกับ AB,PY ตั้งฉากกับ และ PZ ตั้งฉากกับ CA จงหา PX+PY+PZ ที่น้อยที่สุด
6. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีมุม ABC = 2 เท่าของ ACB = 40 องศา D เป็นจุดภายนอกทางด้าน BC ทำให้ มุม BAD = 2 เท่าของ ABC และ AB = AD ขนาดของมุม BCD เป็นกี่องศา
7. มีจำนวนนับกี่จำนวนที่น้อยกว่า 500 และมีผลบวกของตัวประกอบเฉพาะเป็น 20
8. ถ้า a,b,c,d เป็นคำตอบของสมการ x^4+7x^3+kx^2-395x+2010 = 0 และ ab = -30 แล้ว k มีค่าเท่าใด
9. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงข้องสมการ {(x^2+x+1)^3-(x^2+1)^3-x^3}{(x^2-x+1)^3-(x^2+1)^3+x^3}+3{(x^4+x^2+1)^3-(x^4+1)^3-x^6} = 0
10. ให้ a*10^n = 14869^4+15131^4+15869^4+16631^4-14619^4-15381^4-16119^4-16381^4 เมื่อ 1 <= a < 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม หาค่า na^2
11. มีจำนวนสามหลักกี่จำนวน ที่ผลรวมของเลขโดดเท่ากับ 11