[warut]

ข้อ 5 วันแรก (คิดว่ายังไม่มีใครเฉลยนะ แล้วเหลือข้อไหนอีกเนี่ยที่ยังไม่มีเฉลย)
สำหรับข้อนี้วิธีทำของผมก็คล้ายกับที่ผมใช้กับโจทย์ที่คุณ M@gpie เคยเอามาถาม
ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นควรอ่านกระทู้นั้นประกอบด้วยนะครับ

ให้สังเกตว่า x² - 2kx + k² = (x - k)²
ดังนั้นสมการที่เราต้องการแก้ก็คือ ²ⁿS_k=1 | x - k | = | 2nx - n -2n² |
ซึ่งจะเห็นว่าสมการนี้เป็นจริงเมื่อ x ณ 2n หรือ x ฃ 1
ที่เหลือก็คือการแสดงว่าสมการนี้ไม่เป็นจริงเมื่อ 1 < x < 2n

ให้ X = x - (n + 1/2) สมการจะกลายเป็น
ⁿS_j=1 | X - (j - 1/2) | + | X + (j - 1/2) | = 2n| X |

ให้ g(X) = | X - a | + | X + a |, a > 0
จะเห็นว่า
g(X) = 2| X | เมื่อ X ณ a หรือ X ฃ -a
g(X) = 2a > 2| X | เมื่อ -a < X < a
สรุปว่า g(X) ณ 2| X | สำหรับทุกจำนวนจริง X

ดังนั้นในช่วงที่ 1< x < 2n ซึ่งก็คือ -(n - 1/2) < X < (n - 1/2) จะเห็นว่า
| X - (n - 1/2) | + | X + (n - 1/2) | > 2| X |
ดังนั้น ⁿS_j=1 | X - (j - 1/2) | + | X + (j - 1/2) | > ⁿS_j=1 2| X | = 2n| X |
เป็นอันเสร็จสิ้นการพิสูจน์แล้วครับผม

สรุปว่าเซ็ตคำตอบคือ (-ฅ, 1] ศ [2n, ฅ)