Inequality
1.$a+b+c \le \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$
2.$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) ,xyz=1$
3.$a^{3a}b^{3b}c^{3c} \ge (abc)^{a+b+c}$
Functional Equation
1.$f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$
$$f(f(x)-f(y))=x-y,\forall x,y \in \mathbb{Q}$$
2.$f:\ (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$
$$f\bigg(\frac{x-y}{1-xy}\bigg)=\frac{f(x)f(y)}{(1-xy)^2} ,\forall x,y \in (-1,1) $$
3.จงหาพหุนามทั้งหมดซึ่งไม่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนและสอดคล้องกับสมการ
$$P(x^3)=P(x^2)P(x) ,\forall x\in \mathbb{R}$$
4.
Geometry
1.
2.
3.
Combinatorics
1.จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $x+2y+2z=100\ ,0 \le x \le 10 \le y \le 20 \le z$
2.จงแสดงว่ามีจุด $5$ จุดซึ่งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน $6,8,10$ จะต้องมีอย่างน้อย 2 จุด ที่ห่างกันไม่เกิน $5$ หน่วย
3.จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)$ ลงตัว ทุกจำนวนเต็ม $a,b,c$
Trigonometry
1.
2.$arcsin(x)+arccot\sqrt{1-x^2}=arccos(x)$
Number Theory
1.จงหาคำตอบของสมการ
2.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่งมีจำนวนตัวหารบวก $60$ จำนวน
3.จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $k$ เป็นอนันต์ซึ่ง $3 \mid 111..._{(k)}...111$
4.ทุกจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $k$ เป็นอนันต์ซึ่ง $p \mid 111..._{(k)}...111$
5.จงหาจำนวนเต็มบวกคู่ $N$ ทั้งหมดซึ่ง $N=d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}+d_{5}$ และ $d_{4}=d_{1}+d_{2}+d_{3}$ เมื่อ $d_{i}$ คือตัวหารบวกตัวที่ $i$ เมื่อเรียงจากน้อยไปมาก
ปล.เดี๋ยวเพิ่มข้อสอบให้ครับ ถ้าให้ดีรบกวนอาจารย์เพิ่มให้ด้วยครับบบ
