[Pitchayut]

Number Theory

ข้อสอง ตัวหารบวก 60 ตัว ก็ค่อยๆ หาไปเดี๋ยวจะเจอจำนวนที่น้อยที่สุดเอง แต่ถ้าจะให้เร็วขึ้น ใช้ความรู้เรื่อง highly composite number จะได้จำนวนนั้นคือ 5040

ข้อสามนี้ง่ายมากๆ แค่ใช้ความจริงที่ว่า "จำนวนที่มีผลรวมเลขโดดหารด้วย 3 ลงตัว จะหารด้วย 3 ลงตัวเสมอ" ก็จบทันที

ส่วนข้อ 4 จัดรูปนิดนึง จะได้ว่า
$$111..._{(k)}...111=\frac{10^{k}-1}{9} $$
ดังนั้นจึงแยกเป็นสองกรณี

กรณีที่ 1 $p=3$ ซึ่งพิสูจน์ไปแล้วในข้อสาม

กรณีที่ 2 $p\neq 3$ จะเห็นชัดว่า $p|10^{k}-1$ จาก Fermat Little Theroem จะได้ว่า
$$10^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$
$$10^{c(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$$
ดังนั้น จะได้ว่ามีจำนวน $c(p-1)$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวอยู่เป็นอนันต์

ข้อ 5 ผมยังไม่ได้คิด แต่ชัดว่า $d_1=1, d_2=2$