[Pitchayut]

ไม่เป็นไรครับ ผมผิดเองครับ แก้เรียบร้อยแล้วครับ
มาดู Inequality ดีกว่า ท่าทางก็ไม่ยากเหมือนกัน

ข้อแรก $a, b, c > 0$ ชัวครับ เพราะว่าถ้าคูณ $abc$ เข้าไปทั้งสองข้าง จะเป็นอสมการ
$$a^2 bc+ab^2 c+abc^2\leq a^2 b^2+b^2 c^2+ c^2 a^2$$
$$(ab)(ca)+(ab)(bc)+(bc)(ca)\leq(ab)(ab)+(bc)(bc)+(ca)(ca)$$
อสมการสุดท้ายนี้เป็นจริงเสมอ ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการว่าด้วยการจัดเรียง (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

ข้อสอง เจอรากที่สอง กำจัดมันทิ้งโดยการแทนค่า $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}, c=\sqrt{z}$ อสมการจะกลายเป็น
$$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq a+b+c$$
เมื่อ $abc=1$ จากนั้นจัดรูป
$$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 2aู^2bc+2ab^2c+2abc^2$$
บวกด้วย $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ ทั้งสองข้าง จะได้เป็น
$$a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2aู^2bc+2ab^2c+2abc^2$$
จัดกำลังสองสมบูรณ์
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2$$
อสมการสุดท้ายเป็นจริงเสมอ ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการว่าด้วยการจัดเรียง (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

ข้อสาม เจอเลขยกกำลังอย่างเดียว กำจัดมันทิ้งโดยใส่ใส่ $ln$ ทั้งสองข้าง จะกลายเป็น
$$3a\ln a+3b\ln b+3c\ln c \geq (a+b+c)(\ln a+\ln b+\ln c)$$
จบแล้วครับ ถ้าเราสมมุติให้ $a\geq b\geq c$ จะได้ว่า $\ln a\geq \ln b\geq \ln c$ ทำให้อสมการสุดท้ายเป็นจริงจากอสมการ Chevbyshev (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)