[Thamma]

2. จำนวนเชิงสี่หน้า (tetrahedral numbers) คือจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $T_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} $ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $

ให้ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},...,T_{n_k}\}$ เป็นเซตของจำนวนเชิงสี่หน้าซึ่งสมาชิกใน $S$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุกคู่

จงแสดงว่าจะมีจำนวนเชิงสี่หน้าเป็นจำนวนอนันต์ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันกับสมาชิกแต่ละตัวใน $S$

N2

จะพิสูจน์ข้อความดังกล่าวโดย Induction on $k$

ให้ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_k}\}$

ขั้นฐาน $k=1$ :

ถ้า $T_{n_1}=1$ ข้อความเป็นจริง

ถ้า $T_{n_1}\not=1$ ให้เลือก $T_l = \frac{l(l+1)(l+2)}{6} \equiv 1 (\bmod \frac {n(n+1)(n+2)}{6})$

ขั้นอุปนัย สมมุติว่าถ้า $k=l, S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_l}\}$ แล้วข้อความดังกล่าวเป็นจริง

ถ้า $k=l+1$, พิจารณา $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_{l+1}}\}$

และพิจารณาค่า $L \in \mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_l}\}$,

$\frac{L(L+1)(L+2)}{6} \equiv 1 (\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_l})$

จากขั้นฐาน เราสามารถเลือก $\frac{M(M+1)(M+2)}{6} \equiv 1 (\bmod T_{n_{l+1}})$

โดย Chinese Remainder Theorem, จะมีค่า $S \in \mathbb{N}$ เสมอที่

$\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv\frac{L(L+1)(L+2)}{6}(\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_l})$


$\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv\frac{M(M+1)(M+2)}{6} \equiv 1(\bmod T_{n_{l+1}})$

ดังนั้น $\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv 1(\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_{l+1}})$