อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm
ๅอนุกรมเทเลอร์บอกเราว่า...
$$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} $$
โดยที่..$f^{(n)}(x)$...คืออนุพันธ์อันดับที่...$n$...ของฟังก์ชัน$f(x)$
ซึ่งอยู่ในรูปอนุกรมกำลัง...$x^n$
ถ้าเราแทนที่...$x^n$...นี้ด้วยความสัมพันธ์...$b_n$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}$
จะได้อนุกรมออกมาในรูปอนุกรมของความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}...และb_0=0,b_1=1$
...เราสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้
ซึ่งจะไปเกี่ยวพันกับกับการหาเศษเสมือนของฟังก์ชั่น$f(x)$
ซึ่งถูกหารด้วยพหุนาม$x^2-\alpha x-\beta $
หรือเขียนได้ว่า...
$$R'(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
เมื่อ...$R(x)คือฟังก์ชันเศษเหลือพหุนามในรูป...px+q$
ที่เสมือนฟังก์ชัน..$f(x)ถูกหารด้วยพหุนาม..x^2-\alpha x-\beta $
|
...เช่นคำถาม...
$$1+1/2!+2/3!+3/4!+5/5!+8/6!+...+a_n/n!=?$$
โดย...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$
และ...$a_1=1...,a_2=1...$
...ได้ผลรวมลู่เข้าสู่....
$$(1/\sqrt{5})(e^{(1+\sqrt{5})/2}-e^{(1-\sqrt{5})/2})$$
...หรือประมาณ...$2.0143$
...ขอบคุณครับ...