ทฤษฎีการหาเศษพหุนามสามารถนำมาใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีตั้งแต่สามขึ้นไปได้ และทำให้นำมาสู่วิธีในการหารากของสมการพหุนาม ตัวอย่างเช่นย้อนกลับไปที่ความคิดเห็นที่ #20 การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสี่....
สามารถนำมาประยุกต์สำหรับใช้หารากของสมการพหุนามกำลังสี่ได้ โดยสรุปเป็นแนวทางได้ว่า....
....นำพหุนามกำลังสี่ที่ต้องการหารากของสมการมาจัดรูปใหม่$\rightarrow$ พหุนามกำลังสี่ที่ไม่มีพจน์กำลังสาม$\rightarrow$ นำสัมประสิทธ์ของพหุนามกำลังสี่ที่ได้นั้นมาสร้างพหุนามกำลังสาม$P(x)\rightarrow$ หารากของสมการพหุนามกำลังสาม $P(x)=0$ซึ่งต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อย1 ค่า$\rightarrow$ มาหาค่ารากของพหุนามกำลังสี่ตั้งต้นได้ในที่สุด
ตัวอย่างเช่น $x^4-4x^3+x^2+x-1=0$
วิธีทำ
1. $x^4-4x^3+x^2+x-1=(x-1)^4-5(x-1)^2-5(x-1)-2$
2. $a_2=-5,a_1=-5,a_0=-2$
3. สร้างพหุนาม $P(x)=P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0\rightarrow P^3-10P^2+33P-25=0$
หารากของสมการได้ จำนวนจริง1ค่าอีก2ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน เลือกค่าที่เป็นจำนวนจริงคือ$P\approx 1.0643$
4. หาค่า $p=\sqrt{P} \approx \sqrt{1.0643}\approx 1.032 $
$q_1=\frac{1}{2}(p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) \approx -4.39$
$q_2=\frac{1}{2}(p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) \approx 0.455$
5. $x^4-4x^3+x^2+x-1=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^2+p(x-1)+q_2]\approx (x^2-3.032x-2.358)(x^2-0.968x+0.423)$
6.รากของสมการคือ $x^2-3.032x-2.358=0และx^2-0.968x+0.423=0$ จะได้ $x\approx -0.64,3.67,0.48\pm 0.43i$
....ในกรณีพหุนามกำลังห้าก็มีแนววิธีมาจากแนวคิดเดียวกันแต่ผมยังไม่สามารถสรุปเป็นวิธีการหารากของพหุนามได้เนื่องจากมีความซับซ้อนมาก กว่า แต่สามารถสรุปเป็นวิธีการแยกตัวประกอบได้คือ....
ตัวอย่างเช่น $การแยกตัวประกอบของx^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3$
วิธีทำ
1. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=(x-1)^5-2(x-1)^3-2(x-1)^2-8(x-1)-4$
2. $a_3=-2,a_2=-2,a_1=-8,a_0=-4$
3.เลือก $q_1ที่เป็นตัวประกอบของ a_0\rightarrow q_1=2$
หา $p=\frac{a_0\pm \sqrt{a_0^2+4q_1^3(q_1^2-a_3q_1+a_1)} }{2q_1^2} =0,-2$
และเลือก $p=0$จะเห็นว่าทำให้ $\frac{a_0}{q_1} +(2q_1-a_3)p-p^3=a_2=-2จริง$
แสดงว่าแยกตัวประกอบได้ $p=0,q_1=2$
4. หาค่า $q_2,q_3 $
$q_2=a_3-q_1+p^2=-4$
$q_3=p^3+(a_3-2q_1)p+a_2=-2$
5. $x^5-5x^4+8x^3-6x^2-5x+3=[(x-1)^2-p(x-1)+q_1][(x-1)^3+p(x-1)^2+q_2(x-1)+q_3]= [(x-1)^2+2][(x-1)^3-4(x-1)-2]=(x^2-2x+3)(x^3-3x^2-x+1)$