[Suwiwat B]

1. หา n ทั้งหมดที่ทำให้ $1+2+...+n$ เป็นตัวเลข 3 หลักที่เป็นเลขโดดเดียวกัน
มี 9 กรณี 111 ถึง 999 ไล่ไปให้ครบ จะได้ว่าเป็น $\frac{n(n+1)}{2} = 666$ เท่านั้น เพราะจะได้ว่า $n=36$ จำนวนเดียว

7. หาจำนวนเฉพาะ p ที่ทำให้มีจำนวนเต็ม x,y ที่ทำให้
$p+1 = 2x^2$ เเละ $p^2 + 1=2y^2$

สมมติว่า x,y เป็นจำนวนเต็มบวก เเละเห็นได้ชัดว่า p เป็นจำนวนคี่ จับสมการมาลบกัน
$$p(p-1) = 2(y-x)(y+x) $$
p เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น p หาร 2 ไม่ลงเเน่ๆ เเบ่งเป็น 2 กรณี
ถ้า p หาร y-x จะได้ $p \leqslant y-x$ ทำให้ $p-1 \geqslant 2y+2x$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $p \leqslant y+x$ เเละ $p-1 \geqslant 2(y-x)$ ทำให้ได้ว่า $p+1 \leqslant 4x$ เเต่จากโจทย์ทำให้ได้ว่า
$2x^2 \leqslant 4x$ จะได้ว่า $x\leqslant 2$
ถ้า $x=1$ จะได้ $p=1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้า $x=2$ จะได้ $p=7$ เป็นจำนวนเฉพาะ