3.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(2xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2+xf(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R} $
ให้ $P(x,y) แทน f(2xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2+xf(x)$
$P(0,y) : f(f(y)) = y+f(0)^2$......(1)
ได้ว่า f bijection
สมมติ $\exists u$ ซึ่ง $f(u) = 0$
$P(u,0) : f(2uf(u)+f(0)) = f(u)^2+uf(u)$
ได้ $f(f(0)) = 0$
จาก (1) : $f(f(0)) = f(0)^2$
ดังนั้น ได้ $f(0) = 0$
จาก (1) ได้ $f(f(y)) = y$
$P(f(x),y): f(2xf(x)+f(y))= y+x^2+xf(x)$
$P(f(x),y) = P(x,y)$
ได้ $f(x)^2 = x^2$
ได้ $f(x) = x$ หรือ $f(x) = -x$
สมมติ $\exists a,b \not= 0$ ซึ่ง $f(a) = a, f(b) = -b$
$P(a,b)$ ได้ว่า $a= 0$ หรือ $b = 0$ จึงขัดแย้ง
แทนค่ากลับ ได้ $f(x) = x$
|