[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

Algebraข้อ1

ให้ $f(z)=2z^5+z^4+2z^3+z^2+2z+1$

ให้ $w$ เป็นรากปฐมฐานที่3ของ1 จะได้ว่า $w^3=1$ และ $w^2+w+1=0$

พิจารณา $f(w)=2w^5+w^4+2w^3+w^2+2w+1=3(w^2+w+1)=0$

ดังนั้น $z^2+z+1$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $f(z) $

จะได้ $f(z)=(z^2+z+1)(2z^3-z^2+z+1)$

ให้$ g(z)=2z^3-z^2+z+1$

เนื่องจาก $g(\frac{-1}{2})=\frac{-1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{-1}{2}+1=0$

ดังนั้น $g(z)=(2z+1)(z^2-z+1)$

พิจารณา สมการ $x^2-x+1=0$ จะได้ $x=\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$

ดังนั้น รากของ $f(x)=0$ คือ $w,w^2,\frac{-1}{2},\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$ โดยที่ $w=cis\frac{2\pi}{3}$

ผิดหรือเปล่าครับ ต้องได้ $\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ ไม่ใช่เหรอครับ