ดู $w=\cos\frac{2\pi}{11}+i\sin\frac{2\pi}{11}$ นิยาม $z_{k}=w^{k}$ สำหรับ $k=0,1,...,10$
จะได้ว่า $z_{k}$ เป็นรากของสมการ $z^{10}+z^{9}+...+z+1=0$
จากนั้นให้ $x=z+\frac{1}{z}$ สมการแปลงร่างเป็น $x^5+x^4-4x^3-3x^2-3x+1=0$
เพราะว่า $z_{k}$ เป็นรากของสมการบน จะได้ $z_{k}+\frac{1}{z_{k}}$ เป็นรากของสมการล่าง
แต่ว่า $z_{k}+\frac{1}{z_{k}}=2\cos\frac{2k\pi}{11}$ (มาจาก $z+\overline{z}=Re(z)$)
รากมี 5 ตัวแตกต่างกันสำหรับ $k=2,4,6,8,10$ ก็จะได้ $2\cos\frac{2\pi}{11}+...+2\cos\frac{10\pi}{11}=-1$
จากนั้นแปลงมุมก็จบแล้วล่ะ
|