combinatorics (ข้อ 2)
จากหลักรังนกพิราบ ต้องมี $ \left\lceil\ \frac{52}{25}\right\rceil = 3$ squares เศษเท่ากันใน mod 25 ,say , $x^2 , y^2 , z^2 $
แต่ any squares congruent with 0,1 mod 4
ดังนั้น มี 2 squares เศษเท่ากันใน mod 100
--------------------------------------------------------------------------
(ข้อ 4) (ข้อนี้เป็นภาคต่อของ ramsey number R(3,3) =6 ขยายเป็น ramsey number R(3,3,3) = 17)
จากค่าความน่าจะเป็นที่กำหนด พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า มีเส้นสีน้ำเงิน (15)(17) เส้น
ดังนั้น จะมีบางจุด ,say, x ที่มีเส้นสีน้ำเงิน พุ่งออก $ \geq 17 $ เส้น (ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 1 blue edge ถูกนับ 2 ครั้งที่จุดปลาย)
ในบรรดา 17 จุดของ blue edges ที่เชื่อมกับ x จะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่ามี สามเหลี่ยมสีเดียวกันของ 1 ใน 3 สี (ซึ่งถ้าเป็นสีน้ำเงิน ก็จะเกิด clique ขนาด 4 ที่ต้องการ)
พิจารณา 1 ใน 17 จุดนี้ และเส้นเชื่อมจากจุดนี้ไปยัง 16 จุดที่เหลือ
จากหลักรังนกพิราบ จะมี $ \geq 6$ เส้นสีเดียวกัน ,say , สี A
ถ้ามี 2 ใน 6 จุดสี A Done ! ,มิฉะนั้น เส้นที่เชื่อมระหว่าง 6 จุดนี้ ใช้แค่สี B,C + อ้าง R(3,3) =6 ก็จบเช่นกันครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|