มาพิมพ์คอมบิข้อ4ต่อให้ครับ ข้อนี้ผมชอบ
พิสูจน์ได้ไม่ยากว่ามีเส้นน้ำเงิน $(15)(17)$ เส้น
จากหนึ่งเส้นใดๆจะต้องใช้จุดสองจุดเป็นจุดปลาย จะได้ว่ามีการนับจุดปลายทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง
ให้นกคือ จุดปลายเส้นที่ถูกนับทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง และให้รังคือจุดที่พิจารณารวม $30$จุด
จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ถูกนับซ้ำอย่างน้อย 17 ครั้ง นั่นคือจุดๆในมีเส้นสีน้ำเงินเชื่อมอยู่ 17 เส้นเป็นอย่างน้อย
สมมติว่าจุดๆนั้นคือจุด $A$ และจุดปลายเส้นสีน้ำเงินคือ $a_1,a_2,...,a_{17}$
พิจารณาจุด $a_1$ และเส้นที่เชื่อมไปยังจุด $a_2,a_3,...,a_{17}$ รวม 16 เส้น
จะได้ว่ามีเส้นสีน้ำเงินอย่างน้อย6เส้น หรือเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย11เส้น
กรณีที่1 มีเส้นสีน่ำเงินอย่างน้อย6เส้น โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นคือ $a_2,a_3,...,a_7$
กรณีที่1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,...,a_7$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $Aa_1a_ia_j$ เป็นควีน้ำเงินขนาด4
กรณี 1.2 $a_2,a_3,...,a_7$ ทุกคู่ต่างเชื่อมกันด้วยสีแดงหรือดำ
พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่ลากไปเชื่อมกับจุด $a_3,a_4,...,a_7$รวม5เส้น
ให้เส้น 5 เส้นคือนก และเซตของรังคือ {สีดำ,สีแดง}
โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีเส้นอย่างงน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่าเป็นเส้นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_3,a_4,a_5$
กรณี 1.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดงสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2a_ia_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3
กรณี 1.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้ คือควีกสีดำขนาด 3
กรณีที่ 2 มีเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย 11 เส้น
ให้เส้นทั้ง 11 เส้นคือนก และ เซตของรังคือ {สีแดง,สีดำ}
โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีอย่างน้อย 6 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้เป็นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$
กรณีที่ 2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดง สมมติให้เป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_1,a_i,a_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3
กรณี 2.2 $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$เชื่อมกันด้วยสีน้ำเงินหรือสีดำเท่านั้น
พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่เชื่อมไปที่จุด $a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$รวม 5 เส้น
ให้เส้นทั้ง 5 เส้นเป็นนกและเซตของรังคือ {สีน้ำเงิน,สีดำ}
จะได้ว่ามีอย่างน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นที่มีสีเดียวกันคือ $a_3,a_4,a_5$
กรณีที่ 2.2.1 เส้นที่เชื่อมทั้ง3เส้นมีสีน้ำเงินเหมือนกัน
กรณีที่ 2.2.1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงิน สมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $A,a_2,a_i,a_j$ เป็นตวีกสีน้ำเงินขนาด4
กรณีที่ 2.2.1.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้เป็นควีกสีดำขนาด 3
กรณีที่ 2.2.2 เส้นที่เชื่อมทั้ง 3 เส้นมีสีดำเหมือนกัน
กรณีที่ 2.2.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีดำ สมมติว่าเป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2,a_i,a_j$ เป็นควีกสีดำขนาด 3
กรณีที่ 2.2.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินทั้งหมด จะได้ว่า $A,a_3,a_4,a_5$ เป็นควีกสีน้ำเงินขนาด 4
ดังนั้นจะเกิดควีกน้ำเงินขนาด4หรือควีกแดงขนาด3หรือควีกดำขนาด3เสมอ
ปล.โจทย์คอมบินี่พิมพ์เหนื่อยจริงๆ