ผมทำคล้ายๆ กับไอเดียที่คุณ Nonpawit12345 เสนอมาครับ
เพื่อความสะดวก ให้ $f(n)=1^1{a_1}^n+2^2{a_2}^n+3^3{a_3}^n+...+m^m{a_m}^n$
สมมติว่ามี $N\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ถ้า $n>N$ แล้ว $f(n)$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ $f(k)=p$
โดย Fermat Little Theorem จะได้ $f(k+p)\equiv f(k)\equiv 0\pmod p$
และ $f(k+p)>f(k)=p$ เพราะฉะนั้น $f(k+p)$ เป็นจำนวนประกอบ เกิดข้อขัดแย้งครับ
อยากให้ช่วยกันลงโจทย์หน่อยครับ ต้องเตรียมสอบ