ผมไม่ได้เข้า mathcenter มานานมาก ไม่รู้ว่าตอนนี้จะมีคนอ่านหรือเปล่านะ
แต่พอดีคิดถึงกระทู้ที่เคยตั้งไว้เลยมาอัปเดตเพิ่มอีกหน่อย
วิธีที่ 5
เหมือนกับวิธีที่ 4 ที่เราจะพิสูจน์ตัวอสมการ $\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2} \ge 1$ ซึ่งเป็นอสมการที่แข็งกว่า (พอดีผมไปเจอบทพิสูจน์สวย ๆ มา เลยอยากเอาเผยแพร่สักหน่อย)
ให้ $A=a^2+ab+b^2,B=b^2+bc+c^2$ และ $C=c^2+ca+a^2$ ก็จะพบว่าอสมการที่ต้องการพิสูจน์สมมูลกับ $\sum_{cyc}\frac{a^2}{A} \ge 1 \Leftrightarrow \left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C} \right)\left(\frac{a^2}{A}+\frac{b^2}{B}+\frac{c^2}{C}-1\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left(\frac{a^2}{A^2}+\frac{b^2}{B^2}+\frac{c^2}{C^2} \right)+\left(\frac{a^2+b^2}{AB}+\frac{b^2+c^2}{BC}+\frac{c^2+a^2}{CA} \right)-\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left(\frac{a^2}{A^2}+\frac{b^2}{B^2}+\frac{c^2}{C^2} \right)+\left(\frac{a^2+b^2-A}{AB}+\frac{b^2+c^2-B}{BC}+\frac{c^2+a^2-C}{CA} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left(\frac{a^2}{A^2}+\frac{b^2}{B^2}+\frac{c^2}{C^2} \right)-\left(\frac{ab}{AB}+\frac{bc}{BC}+\frac{ca}{CA} \right)\ge 0$
ซึ่งอสมการสุดท้ายก็เป็นจริงโดยอสมการสุดคลาสสิคอย่าง $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ เป็นวิธีการที่สวยไปอีกแบบใช้แค่การจัดรูปจนกลายเป็นสิ่งที่ง่าย แต่ยอมวิธีนี้เหมือนกัน
