อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
Schur's inequality : $x^3+y^3+z^3 + 3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$
Let $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{c}{a},z=c$. Simplify!
|
สำหรับเฉลยถ้าลองแทนค่าตามนี้แล้วจัดรูปโดยใช้เงื่อนไข $abc=1$ ก็จะได้คำตอบครับ
แต่เบื้องหลังการถ่ายทำเป็นแบบนี้
Homogenize โดยให้ $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$
อสมการจะสมมูลกับ
$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\leq 3 + \dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}$
คูณด้วย $(xyz)^2$ ได้
$xyz[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]\leq 3(xyz)^2+(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3$
ให้ $p=xy,q=yz,r=zx$ จะได้อสมการ
$p^2(r+q)+q^2(p+r)+r^2(q+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$
$pq(p+q)+qr(q+r)+rp(r+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$
ซึ่งเป็นจริงจาก Schur's inequality