อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon
30. กำหนด $z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} $ ซึ่ง $z_{1},z_{2}\not= 0$ และ $\frac{z_{1}}{z_{2}}\not\in \mathbb{R} $
ถ้า
$$z_{1}\log\left|z_{1}\right|+z_{2}\log\left|z_{2}\right|=\left(z_{1}+z_{2}\right) \log\left|z_{1}+z_{2}\right| $$
แล้ว $\frac{z_{1}}{z_{2}} $ มีค่าเท่าใด
|
จัดรูปใหม่ได้
$$z_1\Big(\log{|z_1|-\log{|z_1+z_2|}}\Big)=z_2\Big(\log{|z_1+z_2|-\log{|z_2|}}\Big)$$
เงื่อนไข $\dfrac{z_1}{z_2}\not\in\mathbb{R}$ บังคับให้
$\log{|z_1+z_2|}=\log{|z_1|}=\log{|z_2|}$
ดังนั้น $|z_1+z_2|=|z_1|=|z_2|$
ให้ $\dfrac{z_1}{z_2}=\cos{A}+i\sin{A}$
จะได้ว่า $(1+\cos{A})^2+\sin^2{A}=1$ จาก $|z_1+z_2|=|z_2|$
แก้สมการได้ $\cos{A}=-\dfrac{1}{2}$
และได้ $\sin{A}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
ดังนั้น $\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$