พิจารณาค่า $p$ ที่ $p^2=m^2+2n^2$
จะได้ว่า $p^2-m^2=(p-m)(p+m)=2n^2$
จาก $\text{gcd}\;(p-m,p+m)=\text{gcd}\;(2p,p+m)=1$ หรือ $2$
จะมี $k, l$ ที่ $p-m = 2k^2, \;p+m = l^2$ หรือ $p-m = k^2, \;p+m = 2l^2$
จากทั้ง 2 กรณี จะได้ว่า $ 2p \in S$
ให้ $2p = k^2+2l^2$ จะได้ว่า $2\mid k$
ดังนั้น $p=2\left(\frac{k}{2}\right)^2+l^2$