พิสูจน์กรณีทั่วไปไปเลย ไอเดียคือขยายสมการและแทรก $m_{i}$ เข้าไปโดยใช้ LEMMA 2
(ไม่ต้องรู้ว่าคำตอบหน้าตาเป็นยังไง เอา LEMMA ทุบเข้าไปอย่างเดียวพอ)
กำหนดสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $1 \leq i \leq r$
ระบบสมการที่ว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq r$
และจะมีคำตอบ unique ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{r}\right]}$
LEMMA1: สมการ $ax \equiv b \pmod{n}$ มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(a,n) \mid b$
LEMMA2: ระบบสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $i=1,2$
มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{1},m_{2}) \mid a_{2}-a_{1}$ และ unique ใน $\pmod{\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$
อุปนัยบน $r$ ถ้า $r=2$ ก็จริงจาก LEMMA ดังนั้น $P(2)$ จริง
สมมติว่า $P(k)$ จริง นั่นคือระบบสมการ $x\equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ $1 \leq i \leq k$
มีคำตอบ $A$ ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$ และ $(m_{i},m_{j}) \ a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k$
ให้ $M={\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$
พิจารณาระบบสมการ
$x \equiv a_{i} \pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$
$x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$
สมมติให้ระบบสมการนี้มี $B$ เป็นคำตอบใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$
จาก LEMMA2 $(M,m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$ และเพราะว่า $m_{i} \mid M$ ทุก $i$
ต้องได้ $(m_{i},m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$
เพราะฉะนั้นมี $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ $n(m_{i},m_{k+1})=B-a_{k+1}$
เพราะว่า $B$ เป็นคำตอบ จะได้ $B-a_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$
ถ้า $m_{i} \leq m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{k+1}) = nm_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$
ถ้า $m_{i} > m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{i}) =nm_{i} \equiv 0 \pmod{m_{k+1}}$
จาก LEMMA1 ได้ว่าสมการ $nm_{t_{1}} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{t_{2}}}$ $t_{s} \in \left\{\,i,k+1\right\}$ มีคำตอบ $x=n$
ซึ่งจะได้ว่า $(m_{i},m_{k+1}) \mid a_{i}-a_{k+1}$ ทุก $1 \leq i \leq k+1$
สมมติให้ระบบสมการมี $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k+1$ .....(*)
จะพิสูจน์ว่าระบบสมการมีคำตอบและ unique ด้วย
สำหรับ $m_{i},m_{j}$ ให้พิจารณาค่าของ $m_{1},m_{2}$ สำหรับสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ โดย $i=1,2$ ......(**)
จาก LEMMA ระบบสมการนี้มีคำตอบร่วมกันใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$
พิจารณาสมการ $x \equiv a_{3} \pmod{m_{3}}$
จาก (*) และจาก LEMMA สมการข้างบนจะมีคำตอบร่วมกันกับระบบสมการ (**) ใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2},m_{3}\right]}$
ในการพิสูจน์ขั้นอุปนัย จาก (*) และจากการที่ $A$ เป็นคำตอบของ $k$ สมการแรก
ได้ว่า $(M,m_{k+1}) \mid A-a_{k+1}$
เพราะฉะนั้นถ้าให้ $x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$
$x \equiv a_{i} \pmod{M}$ $1 \leq i \leq k$
จาก LEMMA ระบบสมการข้างบนมีคำตอบ unique ร่วมกันใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$
|