[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper

มาให้แนวคิด Functional Equation #3,5 ครับ
จริงๆข้อ 3 เป็นข้อมาตรฐานที่เจอบ่อย จัดอยู่ในระดับกลางๆเกือบยาก



1.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(f(0))=0$
2.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(0)=0$
3.พิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่
4.เล่นกับพจน์ $f(x^2+f(y))$ ดูครับ โดยใช้สมบัติฟังก์ชันคู่ แล้วมันก็จะเกิดสิ่งอัศจรรย์!!!



1.แทน x=y=z=0 ให้หมด จะเกิดสองกรณีคือ $f(0)=0$ หรือ $f(1)=\frac{1}{3}$
2.ถ้า $f(0)=0$ แทนค่านิดหน่อยจะได้ว่า $f \equiv 0$ กรณีนี้จบไป
3.ถ้า $f(1)=\frac{1}{3}$ สามารถแทนค่าแล้วเกิดสองกรณีคือ $f(0)=\frac{1}{3}$ หรือ $f(0)=-\frac{2}{3}$

3.1. ถ้า $f(0)=\frac{1}{3}$ ใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร (ตัวแปรเดียวแต่คนละรูป) จะได้ $f \equiv \frac{1}{3}$
3.2. ถ้า $f(0)=-\frac{2}{3}$ ลองพิจารณาค่าของ $f\big(\frac{1}{2}\big)$ ดูครับ จะเกิดบางอย่าง...

พิสูจน์ฟังก์ชันคู่อย่างไรหรือครับ ข้อ3 ครับ