อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
6. จงหาฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง $f$ ที่นิยามบนช่วง $[x, y]$ ที่ทำให้
$$t\cdot f(x)+(1-t)f(y)=f(tx+(1-t)y)$$
สำหรับทุกๆ $t\in [0, 1]$
หมายเหตุ : ห้ามอ้าง jensen ต้องใช้ความรู้พื้นฐานเท่านั้น
|
สังเกตจุด $(x,f(x)),(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),(y,f(y));\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$
เราได้ว่า $\alpha (x)+\beta (y)=\alpha x+\beta y$
และ $\alpha f(x)+\beta f(y)=f(\alpha x+\beta y)$
เราจะได้ว่า จุด $X(x,f(x)),Z(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),Y(y,f(y))$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$ โดยทำอัตราส่วน $XZ:ZY=\alpha :\beta$
ดังนั้นแล้ว $f(x)=ax+b;\forall x\in[x,y]\exists a,b\in\mathbb{R}$
7.มีฟังก์ชั่น $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่
$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?