อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania
7. มีฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่
$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?
|
สมมติว่ามีฟังก์ชัน $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว
จะได้ว่า $f(x^3)=f(g(f(x)))=(f(x))^2$
เนื่องจาก $h(x)=x^3$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
ต่อไปพิจารณา
$f(1)=(f(1))^2$
$f(0)=(f(0))^2$
$f(-1)=(f(-1))^2$
จะได้ว่า $f(-1),f(0),f(-1)\in\{0,1\}$
โดยหลักช่องนกพิราบจะมีสองค่าในบรรดาค่าของ $f(-1),f(0),f(-1)$ ที่มีค่าเท่ากัน
ซึ่งขัดแย้งกับสมบัติหนึ่งต่อหนึ่งของ $f$ ดังนั้นไม่มี $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว