ประเดิมโจทย์มต้น
$\frac{77}{n^{2}+2n} =\frac{77}{n(n+2)} =(77)(\frac{1}{n} )(\frac{1}{n+2} )$
จะเห็นว่าถ้า $n$ หรือ $n+2$ เป็นพหุคูณของ $3$ จะทำให้ $(77)(\frac{1}{n} )(\frac{1}{n+2} )$ เป็นทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ศูนย์
$\therefore n\not= 3,6,9,12,15,18,21$
และ $\therefore n+2\not= 3,6,9,12,15,18,21$ ด้วย ก็คือ $n\not=1,4,7,10,13,16,19$
สรุปค่า $1\leqslant n\leqslant 20$ ค่า $n$ ที่น่าจะเป็นไปได้คือ $n=2,5,8,11,14,17,20$
แสดงว่า $n+2=4,7,10,13,16,19,22$
ในกรณี $n=11$ จะได้ $n+2=13$ ทำให้ $(77)(\frac{1}{n+2} )=\frac{77}{13} $ เเป็นทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ศูนย์แน่นอน จึงตัด $n=11$ ออกไป
และในกรณี $n=17$ จะได้ $n+2=19$ ทำให้ $(77)(\frac{1}{n} )(\frac{1}{n+2} )=(77)(\frac{1}{17} )(\frac{1}{19} )$ เป็นทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ศูนย์แน่นอน จึงตัด $n=17$ ออกไป
จึงเหลือ $n=2,5,8,14,20$ เป็นคำตอบ
|