[nooonuii]

69. ใช้ Mean Value Theorem ครับ ค่า $K$ สามารถเลือกให้เป็นค่าขอบเขตบนของ $|f'(x)|$ และสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากจากเงื่อนไขว่า

Lipschitz Condition $\Rightarrow$ Absolute Continuity $\Rightarrow$ Uniform Continuity

70. ข้อความนี้ยังจริงถ้าเปลี่ยนจาก 2 เป็น $\alpha > 1$ ข้อนี้เคยออกเป็นข้อสอบเข้า โท-เอก ของจุฬาฯ ครับ

Fix $a\in \mathbb{R}$. For any $x\neq a$ we have
$$ \big| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \big| \leq |x-a|^{\alpha - 1}. $$
Letting $x\to a$ we get $|f'(a)| = 0 \Rightarrow f'(a) = 0$
Thus $f$ is constant.