ให้ $r,s\in\mathbb Q\cap[0,1]$
จากสมบัติที่โจทย์ให้มา เราจะได้ว่า $$\int_0^s f(x)\,dx-\int_0^r f(x)\,dx=\int_s^1 f(x)\,dx-\int_r^1 f(x)\,dx$$ แสดงว่า $$\int_r^s f(x)\,dx=\int_s^r f(x)\,dx$$ ดังนั้น $$\int_r^s f(x)\,dx=0$$
ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันอื่นนอกจาก zero function ที่มีสมบัติตามต้องการแล้ว เราจะได้ว่ามี $c\in[0,1]$ ที่ทำให้ $f(c)\ne0$ เราแยกพิสูจน์เป็น 2 กรณี
กรณีที่ 1: $f(c)>0$
เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นจะต้องมีช่วงปิด $[a,b]\subseteq[0,1]$ ที่ $a<b$ และ $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\in[a,b]$
เนื่อง $\mathbb Q$ dense ใน $\mathbb R$ ดังนั้นจะมี $r,s\in\mathbb Q$ ที่ $a<r<s<b$ และเราจึงได้ว่า $$\int_r^s f(x)\,dx>0$$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่เราพิสูจน์ไว้ข้างต้น แสดงว่าในกรณีนี้ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการ
กรณีที่ 2: $f(c)<0$
ทำคล้ายๆกับกรณีที่ 1 ครับ
และเราจะพบว่าในกรณีนี้ก็ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการเช่นกัน