อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
71. ให้ $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $\displaystyle{\int_0^r f(x) \, dx = \int_r^1 f(x) \, dx }$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r$ ในช่วงปิด [0,1] จงพิสูจน์ว่า $f\equiv 0$
|
My Solution : ให้ $\displaystyle{F(x) = \int_{0}^{x} f(x) \, dx}$
จะได้ว่า $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ โดยที่ $F(0) = F(1) = 0$
เนื่องจาก
$$\displaystyle{F(r) = \int_{0}^{r} f(x) \, dx = \int_{r}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{r} f(x) \, dx = - \int_{0}^{r} f(x) \, dx }$$
เราจะได้ว่า $F(r) = 0$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r\in [0,1]$
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงใดๆในช่วงปิด $[0,1]$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วงปิด $[0,1]$
ที่ลู่เข้าหา $x$ ได้ สมมติว่าเป็น $r_n\to x$ (จากทฤษฎีความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะ) เนื่องจาก $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะได้ว่า $F(r_n)\to F(x) \Rightarrow F(x) = 0$ ดังนั้น $F \equiv 0$ บน [0,1]
โดยทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัสเราจะได้ว่า $f(x) = F'(x) = 0$ ทุกค่า $x\in (0,1)$
แต่ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเราจึงได้ว่า $f\equiv 0$ บน $[0,1]$
