[Pitchayut]

เมื่อวานขี้เกียจพิมพ์ โดนพี่เจตัดหน้าเลย ขอมาทำแบบเต็มละกัน

Problem 6 (Sol 1)

โยนแกน $x,y$ ใส่รูป ให้ $A=(0,1), D=(0,0), C=(1,0), B=(-t,0)$ สำหรับบาง $t>0$.

สังเกตว่าถ้า $AB=AC$ แล้ว $\angle BAC=90^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ทำนองเดียวกัน $BA\ne BC$

ดังนั้น เราต้องแสดงว่า $CN=2AM=AB\iff CA=CB\iff t=\sqrt{2}-1$.

จากสูตรจุดกึ่งกลาง $M=\left(\dfrac{-t}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

ให้ $CM$ มีสมการ $y=mx+c$. แทนจุด $C,M$ เข้าไป จะได้ $c=-m=\dfrac{1}{t+2}$.

ดังนั้น $N$ มีพิกัด $\left(0,\dfrac{1}{t+2}\right)$ ดังนั้น $$\begin{align*}
CN=AB &\iff (0-1)^2+\left(\dfrac{1}{t+2}-0\right)^2=(0-(-t))^2+(1-0)^2\\
&\iff 1+\dfrac{1}{(t+2)^2}=t^2+1\\
&\iff t(t+2)=1\\
&\iff t=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}
\end{align*}$$ ตามต้องการ (อย่าลืมว่า $t>0$ นะครับ)

Problem 6 (Sol 2)

ให้ $O,H$ เป็น circumcenter, orthocenter ของ $\Delta ABC$

สังเกตว่าถ้า $AB=AC$ แล้ว $\angle BAC=90^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ทำนองเดียวกัน $BA\ne BC$

ดังนั้น เราต้องแสดงว่า $CN=2AM\iff CA=CB$

ไล่มุมได้ $\angle ACB=45^{\circ}\implies \angle OAB=45^{\circ}$

ดังนั้น $OM=AM$ แต่จาก $CH=2OM$ จะได้ว่า $CH=2AM$ ดังนั้น$$\begin{align*}CN=2AM&\iff CN=CH\\
&\iff N=H\\
&\iff CM\perp AB\\
&\iff CA=CB\end{align*}$$ตามต้องการ

Problem 7

สมมติว่ามี $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ ที่ทำให้ $2560m^2+5m+6=y^5$

จะได้ $y^5\equiv 1\pmod 5\implies y\equiv 1\pmod 5$

ให้ $y=5k+1$ จะได้ $$\begin{align*}
5(512m^2+m+1)&=(5k+1)^5-1\\
&=3125 k^5 + 3125 k^4 + 1250 k^3 + 250 k^2 + 25 k \\
\end{align*}$$ ด้านขวาหารด้วย $25$ ลงตัว ดังนั้น $5\mid 512m^2+m+1\implies 5\mid 2m^2+m+1$

แต่จากการแทน $m=0,1,2,3,4$ พบว่า $5\nmid 2m^2+m+1$ เสมอ ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

Problem 8

คำตอบคือ $2+\sqrt{2}$ ซึ่งบรรลุเมื่อ $c=b, a=\sqrt{2}b$ ต่อไปจะแสดงว่านี่คือค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้

WLOG $a=\sqrt{b^2+c^2}$ โดย Power-Mean $$\left(\dfrac{b^3+c^3}{2}\right)^2\ge\left(\dfrac{b^2+c^2}{2}\right)^3=\dfrac{a^6}{8}\implies b^3+c^3\ge \dfrac{a^3}{\sqrt{2}}$$ ดังนั้น $$\begin{align*}
\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}&\ge a^2\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{bc}\\
&\ge a^2\dfrac{2+\sqrt{2}}{b^2+c^2}\\
&= 2+\sqrt{2}
\end{align*}$$ตามต้องการ

Problem 9 -ยากไปครับ 555

Problem 10

ใช้จุดศูนย์กลางที่ $O=(\sqrt{3},\sqrt{2})$ จากนั้นค่อยๆ ขยายวงกลมไปเรื่อยๆ

เห็นได้ชัดว่า ถ้าวงกลมใหญ่พอ จะคลุมจุดอย่างน้อย $n$ จุด

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ถ้าขยายวงกลมไปเรื่อยๆ แล้ววงกลมจะชนจุด lattice ทีละจุดเสมอ

สมมติว่าวงกลมชนจุด lattice $P=(a,b)$ และ $Q=(c,d)$ เมื่อ $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ และ $a\ne c$ หรือ $b\ne d$ $$\begin{array}{lrcl}
&OP&=&OQ\\
\implies &\sqrt{(a-\sqrt{3})^2+(c-\sqrt{2})^2}&=&\sqrt{(b-\sqrt{3})^2+(d-\sqrt{2})^2}\\
\implies & a^2-2\sqrt{3}a+3+c^2-2\sqrt{2}c+2&=&b^2-2\sqrt{3}b+3+d^2-2\sqrt{2}d+2\\
\implies & \sqrt{2}(d-c)=\sqrt{3}{a-b}\end{array}$$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ และ $a\ne c$ หรือ $b\ne d$