ในที่สุด ก็รู้ว่า ข้อ 35 ถูก modify มาจาก Putnam 1992 นั่นเอง
35. ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ขนาด 2549 x 2549 โดย
$$ a_{ij}= \left\{ \begin{array}{rcl} i+2 & i= j \\ 1 & i \neq j \end{array}\right. $$
ถ้า $ H_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots\frac{1}{n}$ แล้วหาค่า det(A) ในเทอมของ $ H_n $ สำหรับค่า n ที่เหมาะสม
HINT/SUGGESTION
(1) เปลี่ยนแถวที่ i เป็น $ -R_1+R_i \quad i= 2,3,\cdots 2549 $ แน่นอนว่า row operation ด้วยวิธีนี้ ทำให้ ค่า det คงเดิม
(2) transpose เมตริกซ์ (ค่า det ก็ยังคงเดิม)
(3) เปลี่ยนแถวที่ 1 ของเมตริกซ์ที่ถูก transpose ด้วย $ \frac{2}{i}R_{i-1}+R_1 \quad i= 3,4,\cdots 2550 $
จากนั้นก็หา det(A) จากการกระจาย cofactor ของแถวที่ 1 พบว่า
$ det(A)=(3+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\frac{1}{2550}))(\frac{2550!}{2})= 2550! H_{2550} $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|