[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

1. ให้ $a_0 = 1$ สำหรับ $n \in \mathbb{N} $ ให้ $a_n = 3^{2n-1}a_{n-1}$ ถ้า $\log_{\frac{1}{3}}a_0 + log_{\frac{1}{3}}a_1+.....+log_{\frac{1}{3}}a_n = -91$ แล้ว $n$ เท่ากับเท่าไร

แปลง $\log_{\frac{1}{3}}a_0 + log_{\frac{1}{3}}a_1+.....+log_{\frac{1}{3}}a_n = -91$
$\log_{\frac{1}{3}}(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad -91$
$(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad 3^{91}$

ลองเขียนพจน์ต่างๆดู
$a_1=3$
$a_2=3^{(1+3)}=3^{2^2}$
$a_3=3^{(1+3+5)}=3^{3^2}$
$a_4=3^{(1+3+5+7)}=3^{4^2}$
จนถึงพจน์ท้ายๆ
$a_{n-2}=3^{(1+3+5+7+...+2n-5)}=3^{(n-2)^2}$
$a_{n-1}=3^{(1+3+5+7+...+(2n-5)+(2n-3)}=3^{(n-1)^2}$
$a_n=3^{(1+3+5+7+...+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)}=3^{n^2}$

เนื่องจาก$1+3+5+7+9+...+(2n-1)=n^2$

$a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n=3^{1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2}$
นำค่าไปแทนใน $(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad 3^{91}$ จะได้ว่า

$1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2=91$

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =91$
$n(n+1)(2n+1)=6\times 91$
$(n^2+n)(2n+1)=2n^3+3n^2+n=546$
$2n^3+3n^2+n-546=0$
$(n-6)(2n^2+15n+91)=0$
ได้ค่า$n=6$......จริงๆจะลองบวกตั้งแต่$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=91$ ก็ได้