[passer-by]

ข้อ 13 ถูกแล้วครับ
Alternative Solution

$$ \int_0^{\frac{1}{2}}\big \{ \frac{1}{x} \big\}\big \{ \frac{1}{1-x} \big\} \,\, dx= \sum_{n=2}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\big \{\frac{1}{x} \big \} \big \{\frac{1}{1-x} \big \} \,\, dx = \sum_{n=2}^{\infty} a_n $$

And using the fact that , for each $ a_n $,
$ \quad \big \{ \frac{1}{x} \big \} =\frac{1}{x}-n \quad $ and $ \,\, \big \{ \frac{1}{1-x} \big\} = \frac{x}{1-x} $

Next, we'll compute partial sum and the result is

$$ s_N = \sum_{n=2}^N \big ( \frac{1}{n+1} + \ln \big ( ( 1+\frac{1}{n})^{n-1}\cdot (1-\frac{1}{n})^{n-1}\big) \big ) $$

After simplifying, we have $$s_N= \sum_{n=3}^N \frac{1}{n} - \ln N + \ln ( 1+\frac{1}{N})^{N} - \ln(1+\frac{1}{N})+\frac{1}{N+1} $$

Let $ N \rightarrow {\infty} $ and multiply with 2, we have got the answer

ต่อด้วยข้อ 14

ให้ n เป็นจำนวนนับ และ $ a_n , b_n $ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง

$ a_{n+1} =a_n +\frac{1}{b_n}$ และ $ b_{n+1} =b_n +\frac{1}{a_n}$

หา n มาอย่างน้อย 1 ค่า ที่ไม่ใช่ 1 และทำให้ $ a_n + b_n > 1000 $