โจทย์ IMO ข้อนี้เป็นโจทย์ Number ที่ใช้เครื่องมือไม่ซับซ้อนครับ
ใช้แค่อสมการมา bound ข้อมูล 3-4 ชุดมาชนกัน เพื่อหาข้อสรุป
Routine การวิเคราะห์โจทย์ไม่ยากเลยครับ ข้อมูลมีไม่กี่ชิ้น
จะลองปลดให้ดูทีละปมแบบนี้นะครับ
1.$2ab^2-b^3+1>0$ ชิ้นแรก มันจะทอนจนเหลือ $2a\geq b$ ได้
ตรงนี้จะสรุปคำตอบออกมาได้อันนึงคือ $(a,b)=(t,2t)$
จากนี้ไปพิจารณา $2a > b$ (เก็บไว้)
2.$a^2 > 2ab^2-b^3+1$ จะทอนจนเหลือ $a>b$ ได้ (เก็บไว้)
3.$a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$ ลดทอนให้เหลือแค่ $a >b^2$ (เก็บไว้)
4.ทีนี้เรามีข้อมูลอสมการ 3 ชิ้น ที่เอาไว้เปรียบเทียบนิพจน์เศษส่วนแล้ว
ต่อไป เราต้องสร้างข้อมูลอีกชิ้น เพื่อจะสรุปคำตอบทั้งหมด (ทำไมต้องทำแบบนี้?)
ส่งต่อ congruence เลย โดยเริ่มจาก $a^2 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
และ $2ab^2-b^3+1 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
ข้อมูล 2 ชิ้นข้างบนนี้จะสร้างความสัมพันธ์เพื่อนำไปสู่การ bound ค่านิพจน์ได้ครับ
ใช้สมบัติ congruence พื้นฐาน โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดนี้มาชนกัน (ตรงนี้ต้องทำเองครับ)
จะได้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
พอมาตรงนี้ดึงข้อมูลอสมการพวกนั้นมาใช้พิสูจน์ว่า $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$ ให้ได้
พิสูจน์ได้แล้วก็ โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดมาสรุปได้เลยครับ
ตรงนี้ต้องรอบคอบหน่อย คำตอบ $(a,b)$ ทั้งหมดจะหลุดออกเองมาครับ
|